Calculatrice de matrices en ligne

Cette calculatrice effectue toutes les opérations sur les matrices vues au lycée et dans le supérieur : addition, soustraction, produit matriciel, multiplication par un scalaire, transposée, déterminant, matrice inverse, trace et rang. Les deux matrices peuvent aller de 1 × 1 à 6 × 6, et chaque calcul peut être affiché étape par étape.

Le calcul se fait entièrement dans votre navigateur : aucune donnée saisie n’est envoyée au site.

Comment utiliser cette calculatrice de matrices ?

• Choisissez d’abord l’opération dans la liste déroulante. Seules les matrices utiles à cette opération restent affichées : inutile de remplir B pour calculer le déterminant de A.
• Réglez les dimensions avec les boutons + et − placés au-dessus de chaque grille. Les coefficients déjà saisis sont conservés lorsque vous agrandissez ou réduisez une matrice.
• Saisissez les coefficients. La virgule et le point décimal sont acceptés tous les deux, et une case laissée vide vaut zéro.
• Le résultat s’affiche automatiquement, sans bouton à presser. Il apparaît sous forme de matrice, ainsi qu’en une ligne de texte que le bouton Copier place dans le presse-papiers.
• Le bouton Étapes détaillées déplie le raisonnement complet : coefficient par coefficient pour un produit, règle de Sarrus pour un déterminant 3 × 3, pivot de Gauss au-delà.

Se déplacer au clavier dans une grille

La touche Tab passe à la case suivante, comme dans un tableur. Les flèches haut et bas changent de ligne, les flèches gauche et droite changent de colonne une fois le curseur arrivé au bord de la case, et la touche Entrée descend d’une ligne. Arrivé au bout d’une ligne, le curseur passe automatiquement au début de la suivante.

Qu’est-ce qu’une matrice ?

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, rangés en lignes et en colonnes. On note ses dimensions « nombre de lignes × nombre de colonnes » : une matrice 2 × 3 possède 2 lignes et 3 colonnes. Le nombre placé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j s’appelle le coefficient aᵢⱼ.

Une matrice ayant autant de lignes que de colonnes est dite carrée. Seules les matrices carrées possèdent un déterminant, une trace et, éventuellement, une inverse.

Addition et soustraction de deux matrices

L’addition et la soustraction se font terme à terme : le coefficient de la ligne i et de la colonne j du résultat vaut aᵢⱼ + bᵢⱼ pour une somme, aᵢⱼ − bᵢⱼ pour une différence.

Ces deux opérations exigent que les deux matrices aient exactement les mêmes dimensions. Additionner une matrice 2 × 3 et une matrice 3 × 2 n’a aucun sens, et la calculatrice vous le signale au lieu de renvoyer un résultat fantaisiste.

Exemple : la somme des matrices 2 × 2 de coefficients 1, 2, 3, 4 et 5, 6, 7, 8 vaut 6, 8, 10, 12.

Multiplier une matrice par un scalaire

Multiplier une matrice par un nombre k (appelé scalaire) revient à multiplier chacun de ses coefficients par k. Les dimensions ne changent pas. C’est l’opération la plus simple du calcul matriciel, et celle qui permet par exemple de changer d’unité sur l’ensemble d’un tableau de données.

Choisissez « k × A » ou « k × B » dans la liste des opérations : un champ de saisie du scalaire apparaît alors sous les grilles. Un scalaire négatif est accepté, tout comme un scalaire décimal.

Le produit matriciel A × B

Le produit matriciel n’a rien à voir avec une multiplication terme à terme. Chaque coefficient du résultat est le produit scalaire d’une ligne de A par une colonne de B : on multiplie les termes deux à deux, puis on additionne le tout.

La condition de compatibilité

Le produit A × B n’existe que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le résultat possède alors autant de lignes que A et autant de colonnes que B : multiplier une matrice 2 × 3 par une matrice 3 × 4 donne une matrice 2 × 4. Si la condition n’est pas remplie, la calculatrice affiche le détail du problème en rappelant les dimensions en cause.

Le produit matriciel n’est pas commutatif

Contrairement à la multiplication des nombres, A × B et B × A ne donnent en général pas le même résultat (quand les deux sont seulement définis). C’est l’une des erreurs les plus fréquentes en début d’apprentissage, et c’est pourquoi les deux ordres figurent séparément dans la liste des opérations.

Exemple : le produit des matrices 2 × 2 de coefficients 1, 2, 3, 4 et 5, 6, 7, 8 vaut 19, 22, 43, 50, alors que le produit dans l’autre sens vaut 23, 34, 31, 46.

La transposée d’une matrice

La transposée, notée Aᵀ, échange les lignes et les colonnes : le coefficient situé ligne i, colonne j se retrouve ligne j, colonne i. Une matrice 2 × 3 devient donc une matrice 3 × 2. La transposée d’une transposée redonne la matrice de départ.

Elle intervient partout en statistiques et en apprentissage automatique, notamment dans le produit AᵀA utilisé par la régression linéaire.

Calculer un déterminant

Le déterminant est un nombre associé à toute matrice carrée. Il mesure le facteur par lequel la transformation multiplie les aires ou les volumes, et il répond surtout à une question décisive : la matrice est inversible si et seulement si son déterminant est différent de zéro.

Déterminant d’une matrice 2 × 2

Pour une matrice 2 × 2 de coefficients a, b sur la première ligne et c, d sur la seconde, le déterminant vaut a × d − b × c : le produit de la diagonale principale moins celui de l’antidiagonale.

Déterminant d’une matrice 3 × 3 : la règle de Sarrus

Pour une matrice 3 × 3, la règle de Sarrus additionne les trois produits obtenus en descendant vers la droite, puis retranche les trois produits obtenus en descendant vers la gauche. Les étapes détaillées affichent les six produits, avec leurs valeurs, avant de donner le total.

Attention : cette règle ne fonctionne que pour les matrices 3 × 3. L’appliquer à une matrice 4 × 4 est une erreur classique en contrôle.

Déterminant d’une matrice 4 × 4 et plus : le pivot de Gauss

Au-delà de 3 × 3, la calculatrice triangularise la matrice par le pivot de Gauss. Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant ; échanger deux lignes le change de signe. Une fois la matrice triangulaire, le déterminant est simplement le produit des coefficients de la diagonale, corrigé du signe des échanges effectués.

Inverser une matrice

L’inverse d’une matrice carrée A, notée A⁻¹, est la matrice qui vérifie A × A⁻¹ = I, où I désigne la matrice identité. Elle joue le rôle du « 1 divisé par » des nombres, et elle n’existe que si le déterminant de A est non nul. Une matrice dont le déterminant est nul est dite singulière : la calculatrice vous l’indique explicitement plutôt que d’afficher des valeurs aberrantes.

Inverse d’une matrice 2 × 2

Pour une matrice 2 × 2 de coefficients a, b, c, d, on échange a et d, on change le signe de b et de c, puis on divise l’ensemble par le déterminant a × d − b × c.

Inverse d’une matrice 3 × 3 et plus : Gauss-Jordan

À partir de 3 × 3, la calculatrice utilise la méthode de Gauss-Jordan : on accole la matrice identité à droite de A, puis on ramène la partie gauche à l’identité par des opérations élémentaires sur les lignes. La partie droite devient alors l’inverse recherchée. Chaque étape est affichée, avec le trait qui sépare les deux moitiés de la matrice augmentée.

Les coefficients d’une inverse sont presque toujours des fractions. Cochez « Afficher les résultats en fractions » pour lire un tiers plutôt que 0,333333.

Trace et rang d’une matrice

La trace d’une matrice carrée est la somme des coefficients de sa diagonale principale. Elle est égale à la somme des valeurs propres, ce qui en fait un contrôle rapide en algèbre linéaire.

Le rang est le nombre de lignes non nulles de la forme échelonnée obtenue par le pivot de Gauss, c’est-à-dire le nombre maximal de lignes indépendantes. Contrairement au déterminant, il se définit pour n’importe quelle matrice, carrée ou non. Pour une matrice carrée d’ordre n, le rang vaut n exactement lorsque la matrice est inversible.

Les étapes détaillées

Le bouton Étapes détaillées affiche le raisonnement complet, adapté à l’opération demandée :

• addition et soustraction : le calcul de chaque coefficient, un par un ;
• produit matriciel : la somme des produits ligne par colonne pour chaque case du résultat ;
• déterminant : la formule du produit croisé en 2 × 2, la règle de Sarrus en 3 × 3, la triangularisation au-delà ;
• inverse : la formule directe en 2 × 2, la méthode de Gauss-Jordan à partir de 3 × 3, avec la matrice augmentée après chaque opération sur les lignes ;
• rang : les opérations du pivot de Gauss et la forme échelonnée finale.

C’est le moyen le plus rapide de retrouver où un exercice a dérapé, plutôt que de simplement constater que le résultat diffère.

Sauvegarder et exporter vos calculs

Le bouton Sauvegarde ou le raccourci f ajoute le calcul courant à l’historique, avec l’opération, les matrices saisies et le résultat. Toutes les cellules de l’historique restent modifiables, et une colonne de notes permet d’annoter chaque ligne. L’ensemble s’exporte ensuite au format CSV ou PDF.

Raccourcis clavier

Voici les raccourcis clavier disponibles sur cette page :

m ⇝ Effacer

f ⇝ Sauvegarder

Le bouton Effacer vide les deux grilles et ramène les matrices au format 2 × 2. L’opération choisie et les dimensions des matrices, elles, sont conservées d’une visite à l’autre : retrouver son format de travail habituel ne demande aucun réglage.

À quoi servent les matrices ?

Résoudre un système d’équations linéaires

Un système de n équations à n inconnues s’écrit sous la forme A × X = B. Lorsque A est inversible, la solution unique vaut X = A⁻¹ × B. Calculez donc l’inverse de A, puis effectuez le produit avec la colonne des seconds membres : deux opérations de cette calculatrice suffisent.

Transformations géométriques et images de synthèse

Les rotations, symétries, homothéties et projections se représentent toutes par des matrices. Composer deux transformations revient à multiplier leurs matrices, et revenir en arrière revient à inverser la matrice. C’est le fondement du calcul en 3D, des jeux vidéo et de la modélisation.

Statistiques, données et apprentissage automatique

Un jeu de données se range naturellement dans une matrice : une ligne par observation, une colonne par variable. Régression linéaire, analyse en composantes principales et réseaux de neurones reposent entièrement sur les produits matriciels et les transposées.

Probabilités et chaînes de Markov

Une matrice de transition décrit les probabilités de passage d’un état à un autre. Élever cette matrice au carré ou au cube (c’est-à-dire enchaîner les produits matriciels) donne les probabilités après deux ou trois étapes.

Les messages d’erreur les plus fréquents

• « Le produit A × B nécessite que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B » : ajustez les dimensions avec les boutons + et −, ou inversez l’ordre du produit.
• « Pour additionner deux matrices, elles doivent avoir les mêmes dimensions » : l’addition et la soustraction n’acceptent aucune différence de format.
• « n’existe que pour une matrice carrée » : le déterminant, la trace et l’inverse ne sont définis que si la matrice a autant de lignes que de colonnes. Le rang, lui, se calcule toujours.
• « n’est pas inversible : son déterminant est nul » : les lignes de la matrice sont liées entre elles. Vérifiez votre saisie, ou calculez le rang pour savoir combien de lignes sont réellement indépendantes.