Comment résoudre un système d’équations linéaires ?

On peut procéder par substitution, par combinaison linéaire, par les formules de Cramer si le système est carré et de déterminant non nul, ou par le pivot de Gauss-Jordan, qui est la méthode générale. Cette calculatrice applique le pivot de Gauss-Jordan et donne les coordonnées de la solution, le déterminant, le rang du système et les étapes du calcul.

Que signifient les coordonnées de la solution d’un système ?

Avec deux inconnues, chaque équation représente une droite dans un repère et la solution est le point où ces droites se coupent : ses coordonnées sont le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations en même temps. Avec trois inconnues, chaque équation représente un plan et la solution est le point commun aux trois plans, de coordonnées (x ; y ; z).

Pourquoi un système peut-il n’avoir aucune solution ?

Parce que ses équations se contredisent : deux droites parallèles distinctes n’ont aucun point commun. Le pivot fait alors apparaître une ligne du type « 0 = 3 », qui est fausse. On dit que le système est incompatible : le rang de la matrice du système est inférieur à celui de la matrice augmentée.

Qu’est-ce qu’un système indéterminé ?

C’est un système qui admet une infinité de solutions, parce qu’une équation n’apporte rien de plus que les autres — deux droites confondues, par exemple. Les solutions s’écrivent alors sous forme paramétrée, comme x = 2 − y avec y qui décrit l’ensemble des réels. Le nombre d’inconnues que l’on peut choisir librement est appelé degré de liberté.

À quoi sert le déterminant d’un système ?

Le déterminant n’existe que pour un système carré, c’est-à-dire comportant autant d’équations que d’inconnues. S’il n’est pas nul, le système admet une solution unique et l’on parle de système de Cramer. S’il est nul, le système est soit incompatible, soit indéterminé : le rang permet alors de trancher.

Un bug ? Une suggestion ?

Forum ou Formulaire de contact

Ma Calculatrice toute simple : Système d'équations linéaires

Remplissez tous les champs : le calcul se fait automatiquement

{nbEquations}

équations

{nbInconnues}

inconnues

Résultats en fractions

{erreur}

{nature}

({nomsInconnues.join(' ; ')}) ➧

{solution.nom} ➧

Ensemble des solutions

{expression}

avec {parametres}

Déterminant {determinant}

Rang du système {rangSysteme}

Rang de la matrice augmentée {rangAugmentee}

Degrés de liberté {degresLiberte}

Représentation graphique

(d{droite.numero}) {droite.legende}

Vérification

{ controle.juste ? '✓' : '✗' } {controle.texte}

Résultat ➧

Saisissez les coefficients du système pour voir le détail de la résolution.

{etape.texte}

Autres outils

Équation du 1er degré Calculatrice de matrices Coefficient directeur

Historique des résultats (Toutes les cellules sont modifiables)

Système	Nature	Solution	Déterminant	Note
{y}

Résoudre un système d’équations linéaires en ligne

Cette calculatrice résout un système d’équations linéaires comportant de deux à quatre équations et de deux à quatre inconnues. Elle donne les coordonnées du point solution, le déterminant, le rang du système et sa nature, elle trace les droites lorsqu’il n’y a que deux inconnues, et elle déroule les étapes du calcul.

Tout est calculé dans votre navigateur, en fractions exactes : aucune donnée saisie n’est envoyée au site, et un déterminant nul est reconnu comme tel plutôt qu’approché à 0,000000001 près.

$Résolution du système 2x + 3y = 8 et x − y = −1 avec les coordonnées de la solution$

Qu’est-ce qu’un système d’équations linéaires ?

Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations du premier degré qui doivent être vraies en même temps, avec les mêmes inconnues. Le plus courant est le système de deux équations à deux inconnues :

2x + 3y = 8
x − y = −1

Le résoudre, c’est trouver le couple (x ; y) qui satisfait les deux équations à la fois — ici (1 ; 2). Chaque équation représente une droite dans un repère, et la solution est le point où ces droites se croisent : ce sont ses coordonnées que la calculatrice affiche.

Comment utiliser cette calculatrice ?

Réglez d’abord le nombre d’équations et d’inconnues avec les boutons + et −. Les coefficients déjà saisis sont conservés quand vous agrandissez ou réduisez le système.
Saisissez les coefficients de chaque équation, puis le second membre après le signe égal. Une case laissée vide vaut zéro : inutile d’écrire « 0 » devant une inconnue absente d’une équation.
Le résultat s’affiche automatiquement, sans bouton à presser : la nature du système, les coordonnées de la solution, puis le détail (déterminant, rangs, degrés de liberté).
La bascule Résultats en fractions passe de l’écriture décimale à l’écriture fractionnaire, plus juste quand la solution ne tombe pas rond.
Le bouton Étapes détaillées déplie la résolution complète : les formules de Cramer quand elles s’appliquent, puis le pivot de Gauss-Jordan ligne par ligne.
Le bouton Exemple remplit le système donné plus haut, pour prendre l’outil en main.

$Système de trois équations à trois inconnues résolu par la calculatrice$

Les coordonnées du point solution

Quand le système a une solution unique, la calculatrice l’écrit sous forme de coordonnées : (x ; y) pour deux inconnues, (x ; y ; z) pour trois, (x ; y ; z ; t) pour quatre. Chaque inconnue est ensuite reprise sur sa propre ligne.

Avec deux inconnues, un repère est tracé sous le résultat. Chaque équation y devient une droite, repérée par une couleur et rappelée dans la légende, et le point d’intersection est marqué avec ses coordonnées. Le repère est centré sur la solution, ce qui la garde visible même lorsqu’elle tombe loin de l’origine.

$Repère montrant les deux droites du système et leur point d’intersection de coordonnées (1 ; 2)$

Avec trois inconnues, chaque équation représente un plan de l’espace, et la solution est le point commun aux trois plans. Le repère n’est alors pas tracé, mais les coordonnées et les étapes restent affichées.

Les trois natures d’un système

Un système linéaire n’a jamais deux solutions : il en a une, aucune, ou une infinité. La calculatrice annonce laquelle des trois vous avez sous les yeux.

Système de Cramer : une solution unique. Les droites se coupent en un seul point. C’est le cas d’un système carré dont le déterminant n’est pas nul.
Système incompatible : aucune solution. Les équations se contredisent — deux droites parallèles distinctes, par exemple. Le pivot fait apparaître une ligne du type « 0 = 3 », qui est fausse.
Système indéterminé : une infinité de solutions. Une équation n’apporte rien de plus que les autres — deux droites confondues, par exemple. La calculatrice donne alors l’ensemble des solutions sous forme paramétrée, par exemple x = 2 − y avec y qui décrit ℝ.

$Deux droites parallèles sans point d’intersection : le système n’a aucune solution$

Déterminant, rang et degrés de liberté

Le déterminant n’existe que pour un système carré, c’est-à-dire autant d’équations que d’inconnues. S’il n’est pas nul, le système admet une solution unique ; s’il est nul, il est soit incompatible, soit indéterminé.

Le rang est le nombre d’équations réellement indépendantes, une fois les redondances éliminées. Comparé au rang de la matrice augmentée (celle qui inclut le second membre), il décide de tout — c’est le théorème de Rouché-Fontené, aussi appelé théorème de Rouché-Capelli :

rang du système < rang de la matrice augmentée ⇝ aucune solution ;
rang du système = rang de la matrice augmentée = nombre d’inconnues ⇝ une solution unique ;
rang du système = rang de la matrice augmentée < nombre d’inconnues ⇝ une infinité de solutions.

Les degrés de liberté sont la différence entre le nombre d’inconnues et le rang : c’est le nombre d’inconnues que l’on peut choisir librement, les autres s’en déduisant.

Les méthodes de résolution

La substitution

On isole une inconnue dans une équation, puis on la remplace par son expression dans les autres. C’est la méthode enseignée en premier, pratique sur un système à deux inconnues à coefficients simples.

La combinaison linéaire

On multiplie les équations pour faire apparaître des coefficients opposés, puis on les additionne afin d’éliminer une inconnue. C’est le principe qu’industrialise le pivot de Gauss.

Les formules de Cramer

Pour un système carré de déterminant D non nul, chaque inconnue vaut le quotient de deux déterminants : x = D_x ÷ D, où D_x est le déterminant obtenu en remplaçant la colonne de x par celle des seconds membres. La calculatrice détaille ces déterminants dans les étapes.

Le pivot de Gauss-Jordan

On écrit la matrice augmentée du système, puis on la réduit ligne après ligne jusqu’à lire les solutions directement. C’est la méthode générale : elle fonctionne quel que soit le nombre d’équations et d’inconnues, et c’est elle qui reconnaît les systèmes incompatibles et indéterminés. C’est aussi celle que la calculatrice applique dans tous les cas.

$Étapes détaillées du pivot de Gauss-Jordan sur la matrice augmentée du système$

Fractions, décimaux et cases vides

Les coefficients acceptent les entiers, les nombres négatifs, les décimaux avec une virgule ou un point (2,5 comme 2.5) et les fractions écrites « a/b » (par exemple 3/4 ou -2/3). Une case laissée vide vaut zéro.

Les calculs sont menés en fractions exactes du début à la fin. L’affichage, lui, se choisit : en décimales par défaut, ou en fractions avec la bascule prévue pour cela. Votre choix est retenu par le navigateur pour vos prochaines visites, comme la taille du système.

À quoi sert la résolution d’un système ?

Un système linéaire apparaît dès que plusieurs contraintes proportionnelles s’appliquent en même temps : répartir un budget entre deux postes dont on connaît le total et l’écart, retrouver deux prix unitaires à partir de deux commandes, doser un mélange, équilibrer une équation chimique, calculer l’intensité dans chaque branche d’un circuit avec les lois de Kirchhoff, ou ajuster une droite passant par des points imposés.

C’est aussi la brique de base du calcul matriciel : résoudre AX = B revient à résoudre un système, et le déterminant que cette page affiche est celui de la matrice A.

Les raccourcis clavier

Les raccourcis clavier de cette calculatrice permettent de gagner en productivité :

m ⇝ Effacer

f ⇝ Sauvegarder le calcul dans l’historique

Dans la grille, les flèches, la touche Entrée et la tabulation déplacent le curseur d’une case à l’autre sans quitter le système.

L’historique des résultats

En cliquant sur Sauvegarde, chaque résolution est enregistrée dans un tableau reprenant le système, sa nature, la solution et le déterminant. Vous pourrez ensuite l’exporter au format CSV pour l’intégrer dans un tableur, ou au format PDF.

Exemple de résolution

Prenons le système 2x + 3y = 8 et x − y = −1. Son déterminant vaut 2 × (−1) − 3 × 1 = −5, qui n’est pas nul : le système admet une solution unique.

Par les formules de Cramer, D_x = 8 × (−1) − 3 × (−1) = −5 et D_y = 2 × (−1) − 8 × 1 = −10, donc x = −5 ÷ −5 = 1 et y = −10 ÷ −5 = 2. Les coordonnées de la solution sont (1 ; 2), et l’on vérifie bien que 2 × 1 + 3 × 2 = 8 et 1 − 2 = −1.