Calculer l’écart-type, les quartiles et le diagramme en boîte d’une série

Cette calculatrice statistique donne en une fois les indicateurs d’une série statistique : moyenne, médiane, quartiles, mode, étendue, écart interquartile, variance et écart-type. Elle dresse aussi le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants, et trace le diagramme en boîte de la série, qu’on appelle aussi boîte à moustaches.

Les quartiles sont calculés selon la définition enseignée au lycée, et le détail des calculs montre d’où sort chaque résultat : le rang de chaque quartile, la valeur qui lui correspond, la somme des carrés des écarts. De quoi vérifier un exercice ligne à ligne, et pas seulement sa réponse.

Pour un seul indicateur, un outil dédié va plus vite : calculer une moyenne, calculer une médiane, ou la moyenne avec coefficients quand chaque valeur a son poids.

Comment saisir la série ?

Deux façons de faire, au choix des deux onglets en haut de la calculatrice :

• Liste de valeurs : tapez ou collez les valeurs de la série, dans n’importe quel ordre, séparées par un espace, un point-virgule ou un retour à la ligne. Une colonne copiée depuis Excel, LibreOffice ou Google Sheets se colle telle quelle. Les décimales s’écrivent avec une virgule ou un point : 12,5 et 12.5 donnent la même valeur, et une liste écrite à l’anglaise, 12,13,14, est comprise aussi.
• Valeurs et effectifs : quand l’énoncé donne un tableau — la note 12 obtenue par 5 élèves, la note 14 par 8 élèves… —, saisissez chaque valeur avec son effectif, sans la recopier autant de fois. Un effectif laissé vide compte pour 1, et le bouton + 4 lignes agrandit la grille jusqu’à 200 lignes.

Les résultats se mettent à jour à chaque frappe, sans bouton à valider. Ce qui n’est pas un nombre est ignoré et signalé sous le champ, pour que rien ne se perde en silence. Le bouton Exemple remplit la calculatrice avec les notes d’un contrôle, pour voir tout de suite ce qu’elle affiche.

Les indicateurs calculés

Le volet Détail des calculs ajoute les déciles D1 et D9, le coefficient de variation et la part des valeurs situées dans l’intervalle [x̄ − 2σ ; x̄ + 2σ]. L’arrondi choisi ne s’applique qu’aux résultats d’un calcul — moyenne, variance, écart-type, fréquences — : la médiane, les quartiles et les extrêmes sont donnés tels quels, puisqu’ils sont tirés de la série.

Comment calculer les quartiles ?

Au lycée, le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales.

En pratique, on range la série dans l’ordre croissant, puis on cherche un rang :

1. on calcule N ÷ 4 pour Q1, et 3N ÷ 4 pour Q3 ;
2. si le résultat n’est pas un entier, on l’arrondit à l’entier supérieur ;
3. le quartile est la valeur qui occupe ce rang dans la série rangée.

Avec les 20 notes de l’exemple ci-dessous, N ÷ 4 = 5 : Q1 est la 5^e note. Et 3N ÷ 4 = 15 : Q3 est la 15^e. Avec 18 valeurs, N ÷ 4 = 4,5 ferait de Q1 la 5^e valeur, et 3N ÷ 4 = 13,5 ferait de Q3 la 14^e.

Q1 et Q3 sont donc toujours des valeurs de la série. La médiane, elle, ne l’est pas forcément : quand N est pair, c’est la moyenne des deux valeurs du milieu, de rang N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1.

Dans un tableau d’effectifs, la colonne des effectifs cumulés croissants évite de déplier la série : le quartile est la première valeur dont l’effectif cumulé atteint le rang cherché. C’est ainsi que la calculatrice procède.

Pourquoi ma calculatrice ou mon tableur ne trouve-t-il pas les mêmes quartiles ?

Parce qu’il n’existe pas une seule définition des quartiles, mais plusieurs conventions. Elles donnent la même médiane et, souvent, les mêmes quartiles ; elles divergent sur certaines séries, surtout les petites.

• Méthode du lycée : celle décrite ci-dessus, où un quartile est toujours une valeur de la série.
• Médianes des deux moitiés : Q1 est la médiane de la moitié basse de la série, Q3 celle de la moitié haute, la médiane étant laissée de côté quand l’effectif est impair. C’est la méthode des calculatrices Texas Instruments (TI-83, TI-84).
• Interpolation des tableurs : QUARTILE.INCLURE et QUARTILE dans Excel, QUARTILE dans LibreOffice Calc et Google Sheets placent Q1 au rang (N − 1) × 0,25 + 1, et prennent entre les deux valeurs qui encadrent ce rang une valeur intermédiaire. QUARTILE.EXCLURE suit encore une autre règle.

Sur la série 7 ; 9 ; 10 ; 12 ; 13 ; 14 ; 16 ; 18, les trois méthodes donnent trois résultats :

Aucune n’est fausse, mais un devoir attend celle du cours. La calculatrice affiche la méthode du lycée, et donne les deux autres dans le volet Quartiles selon d’autres méthodes : si votre calculatrice ou votre tableur ne tombe pas sur le même Q1, vous saurez pourquoi.

Écart-type : faut-il diviser par N ou par N − 1 ?

Tout dépend de ce que représente la série. Si elle contient toutes les valeurs qui vous intéressent — les notes de toute la classe, les ventes de chaque mois de l’année —, la variance se calcule en divisant par N : l’écart-type est alors σ, celui du lycée, affiché en grand par la calculatrice.

Si la série n’est qu’un échantillon tiré d’un ensemble plus vaste — quelques pièces prélevées sur une production, les réponses d’un sondage —, on divise la somme des carrés des écarts par N − 1 : c’est l’écart-type d’échantillon s, un peu plus grand, qui corrige la tendance d’un échantillon à sous-estimer la dispersion de l’ensemble. Il est affiché juste sous les indicateurs.

Sur une grande série, l’écart entre les deux devient négligeable. Sur 20 notes, il se voit encore : 3,32 contre 3,40 pour l’exemple ci-dessous.

Au milieu d’un calcul, la calculatrice scientifique donne aussi les deux : stDevPop pour σ, stDevSamp pour s.

Lire un diagramme en boîte (boîte à moustaches)

Le diagramme en boîte résume une série en cinq nombres placés sur un axe gradué : le minimum, Q1, la médiane, Q3 et le maximum.

• la boîte va de Q1 à Q3 : elle contient la moitié centrale de la série, et sa longueur est l’écart interquartile ;
• le trait qui la coupe marque la médiane ;
• les moustaches vont de la boîte au minimum et au maximum : chacune couvre environ un quart des valeurs, et d’une extrémité à l’autre, le diagramme mesure l’étendue.

Une boîte étroite signale des valeurs resserrées autour de la médiane ; une moustache bien plus longue que l’autre, une série étirée d’un côté. Deux diagrammes tracés sur le même axe comparent deux séries d’un coup d’œil, par exemple les notes de deux classes.

Certains manuels arrêtent les moustaches aux déciles D1 et D9 et placent le minimum et le maximum en points isolés. La calculatrice trace la forme la plus courante, jusqu’aux extrêmes, et donne D1 et D9 dans le détail des calculs.

Exemple : les notes d’un contrôle

Un professeur relève les 20 notes suivantes : 12 ; 15 ; 9 ; 14 ; 10 ; 18 ; 13 ; 16 ; 7 ; 12 ; 20 ; 11 ; 15 ; 13 ; 10 ; 17 ; 12 ; 14 ; 8 ; 16. C’est la série que charge le bouton Exemple.

Rangées dans l’ordre croissant : 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 16 ; 17 ; 18 ; 20.

• La somme des notes vaut 262 : la moyenne est 262 ÷ 20 = 13,1.
• N = 20 est pair : la médiane est la moyenne des 10^e et 11^e notes, (13 + 13) ÷ 2 = 13.
• N ÷ 4 = 5 donne Q1 = 10, la 5^e note ; 3N ÷ 4 = 15 donne Q3 = 15, la 15^e. L’écart interquartile vaut 5, l’étendue 20 − 7 = 13.
• La somme des carrés des écarts à la moyenne vaut 219,8 : la variance est 219,8 ÷ 20 = 10,99, et l’écart-type σ = √10,99 ≈ 3,32.
• La note 12, obtenue trois fois, est le mode.

La moyenne et la médiane sont proches : la série est à peu près symétrique. Au moins la moitié de la classe a une note comprise entre 10 et 15, et l’écart-type mesure l’écart typique des notes à la moyenne : un peu plus de trois points.

Sur cette même série, une calculatrice TI donnerait Q1 = 10,5 et Q3 = 15,5, et la fonction QUARTILE.INCLURE d’Excel 10,75 et 15,25 : c’est l’illustration des conventions décrites plus haut.

Sauvegarder les résultats

Le bouton Sauvegarde ajoute les principaux résultats à l’historique, sous la calculatrice : le début de la série rangée, l’effectif, la moyenne, la médiane, Q1, Q3 et l’écart-type. Les cellules sont modifiables, une colonne Note permet d’annoter chaque ligne — « 2^de B », « contrôle n° 3 » —, et l’ensemble s’exporte au format CSV ou PDF.

Enregistrer l’écran ou le partager

Le bouton Enregistrer l’image produit une image PNG des indicateurs et du diagramme en boîte, toujours sur fond clair même en thème sombre : elle se colle telle quelle dans un compte rendu ou un devoir. Le bouton Lien de partage fabrique une adresse qui contient la série : celui qui l’ouvre retrouve les mêmes résultats. Rien n’est enregistré sur le site, tout tient dans l’adresse.

Raccourcis clavier

Hors des champs de saisie, pour que la frappe de la série ne déclenche rien :

m ⇝ Effacer

f ⇝ Sauvegarder